Считается ли наклон линии, проходящей через две точки, «скоростью изменения»? Если да, всегда ли это правда?

Как отмечалось в другом ответе Quora, для любой функции y = f (x) скорость изменения определяется как Скорость = (Изменение y) / (Изменение x) Для линии y = a + bx. Выберите любые две точки: (x1, y1) и (x2, y2). Потом, Ставка = (y2-y1) / (x2-x1) = b (x2-x1) / (x2-x1) = b Итак, b u2014 в уравнении y = a + bx u2014 равно скорости изменения. В расчетах эта же идея используется снова и снова. У вас есть какая-то функция y = f (x). Как и раньше, у вас есть две точки (x, f (x)) и (x *, f (x *)). Чтобы упростить понимание, пусть x * = x + dx, где dx означает малое число u201ca u201d. Затем, как и раньше, Ставка = (f (x *) - f (x)) / (x * -x) = [f (x + dx) -f (x)] / dx Поскольку f (x) обычно не прямая линия, скорость изменяется при изменении x. Итак, чтобы учесть этот факт, в исчислении производная в точке x определяется как D (x) = значение, когда dx приближается к 0 из [f (x + dx) -f (x)] / dx] Позволяя скорости зависеть от x, f (x) больше не должна быть прямой линией. То есть мы можем работать над задачами, в которых f (x) - некоторая кривая. Предположим, что f (x) = sqrt (x), где sqrt - квадратный корень. Предположим также, что вы хотите знать скорость изменения x в каждой точке на этой кривой. Ниже приведен график функции квадратного корня. Горизонтальная ось - x. Вертикальная ось y = sqrt (x). Из графика видно, что скорость изменения функции квадратного корня не одинакова для всех x точек. Чтобы вычислить скорость изменения в конкретной точке x, сначала вспомните следующее тождество из алгебры (а + б) (а - б) = а ^ 2 - Ь ^ 2 Это можно переписать как (а - Ь) = (а ^ 2 - Ь ^ 2) / (а + Ь) Теперь мы готовы перейти к вычислению производной. Для этого определим а = sqrt (х + dx) б = sqrt (х) Тогда, подставляя в эти выражения для a и b, мы видим, что sqrt (x + dx) - sqrt (x) = dx / [sqrt (x + dx) + sqrt (x)] Это позволяет нам записать скорость = (изменение y) / (изменение x) как [sqrt (x + dx) - sqrt (x)] / dx = 1 / [sqrt (x + dx) + sqrt (x)] Напомним, что подход исчисления заключается в том, чтобы позволить dx приближаться к нулю. Это приводит к уравнению для производной функции квадратного корня: D (x) = 1 / [2sqrt (x)] Это скорость изменения для каждой точки x на кривой квадратного корня. Очевидно, что скорость изменения не постоянна. На графике ниже горизонтальная ось - x, а вертикальная ось - D (x): Вы можете видеть, что скорость изменения уменьшается с увеличением x. Теперь вернемся к графику функции извлечения квадратного корня. Вы можете убедиться в этом сами. Скорость изменения - фундаментальная идея математики. Всегда определяется как Скорость = (Изменение y) / (Изменение x) Когда скорость постоянна для всех x, вы имеете дело с прямой линией. Если скорость изменяется при изменении x, ваша функция представляет собой своего рода кривую.

Да и да. Наклон - это, по определению, изменение y, деленное на изменение x

Если значение X изменяется, но не Y, оно равно 0. Если значение X является постоянным, но значение Y изменяется, оно не определено. Когда значение X не изменяется, тогда при рассмотрении 2 баллов X = 0, поэтому оно не определено (вы не можете разделить на 0). При Y = 0 наклона нет.