В задачах этого типа сочетаются как геометрия, так и математический анализ. Во-первых, начните с моделирования системы в фиксированный момент времени (геометрия). Во-вторых, добавьте время и вычислите скорость изменения (исчисление).
Нарисуйте себе картинку. Используйте следующие обозначения:
h = высота столба лампы
м = рост человека
s = длина мужской тени
w = расстояние от стены до человека
Сделайте следующие предположения:
[1] Вы должны понимать, что лучи света движутся по прямой линии. Это известное свойство света. Этот факт нужен вам для моделирования проблемы.
[2] Время зафиксировано в некоторой точке t. То есть мужчина в данный момент стоит неподвижно на расстоянии w от стены. Опять же, длина его тени называется s.
Итак, вот большое понимание, которое заставляет все работать. Когда вы рисуете картинку, вы получаете два одинаковых прямоугольных треугольника u2014, один внутри другого. Обратите внимание на следующие факты:
[3] Есть большой прямоугольный треугольник, состоящий из фонарного столба, земли (от стены до конца тени) и (невидимых) световых лучей от лампы. (Световые лучи образуют гипотенузу этого большого прямоугольного треугольника.) Вертикальное катет треугольника имеет длину h. Горизонтальный катет треугольника имеет длину w + s.
[4] Внутри большого прямоугольного треугольника есть маленький прямоугольный треугольник. Он состоит из человека, мужской тени, (невидимых) лучей света от лампы. (Опять же, световые лучи - гипотенуза). Вертикальное катето треугольника имеет длину m. Горизонтальное катето треугольника имеет длину s.
[5] При рассмотрении вашего изображения становится ясно, что большие и маленькие треугольники похожи. Оба они прямоугольные. Кроме того, все соответствующие углы одинаковы.
Поскольку два треугольника похожи, мы знаем, что
ч / м = (ш + с) / с
Теперь используйте алгебру, чтобы переписать это как
s = q w
где q = m / (h-m) - известная постоянная.
На словах это говорит о том, что длина мужской тени пропорциональна расстоянию от мужчины до стены. Более того, вы можете переписать q как
q = 1 / (z-1), где z = h / m.
То есть постоянная пропорциональности между s и w полностью зависит от высоты столба лампы относительно роста человека.
По логике, мы должны иметь h> m (высота фонарного столба больше, чем рост человека), чтобы эта проблема имела какой-либо смысл. Итак, q> 0.
Когда световой полюс очень высокий, q близко к 0, а тень очень короткая. И наоборот, когда световой полюс очень короткий (чуть выше человека), q приближается к бесконечности, а тень очень длинная. Эти прогнозы модели кажутся очень разумными.
Геометрическая модель предполагала, что время зафиксировано в какой-то момент. Мы знаем, что расстояние человека от стены (w) со временем меняется. Мы также знаем из последнего раздела, что s пропорционально w через известную константу q.
Чтобы позволить w изменяться со временем, мы предполагаем существование функции w (t). Все это говорит о том, что расстояние человека от стены со временем меняется. Из-за пропорциональности между w и s, мы делаем вывод о существовании функции s (t), определяемой как
s (t) = q w (t)
Это должно быть правдой, потому что это то, что говорит геометрическая модель u201cfrozen in timeu201d из предыдущего раздела.
Возьмем производные этого выражения по времени и вспомним (еще раз), что q - константа (число). Потом,
s '(t) = q [w' (t)]
На этом мы почти закончили. Напомним, что скорость - это изменение расстояния в единицу времени. Вот чем на самом деле является производная w '(t). Нам говорят, что скорость человека постоянна r = 91,46 см / сек).
Итак, делаем вывод, что
s '(t) = qr.
Другими словами, скорость изменения тени (s '(t)) равна постоянной q, умноженной на скорость человека r. Учитывая наш предыдущий анализ, это означает, что, когда световой полюс очень высок, скорость изменения тени низкая. И наоборот, когда световой столб находится чуть выше роста человека, скорость изменения светового полюса очень высока.
Чтобы получить окончательный ответ, используйте известные значения h и m для вычисления q. Умножьте q и r вместе. Обозначьте ответ в см / сек.
Конкретно,
h = 800 см
м = 167,68 см
r = 91,46 см / сек
Итак, получаем
q = (167,68) / (800 - 167,68) = 0,2652
а также
{Скорость изменения тени) = (0,2652) (91,46) = 24,25 см / сек.
Таким образом, мы имеем ситуацию, когда световой полюс намного выше человека. Длина тени небольшая, и ее длина меняется довольно медленно.
Я сознательно медленно разрабатывал ответ на эту проблему. Разрабатывая модель, вы хотите остановиться и подумать о том, что она означает. Это хороший способ проверить свою работу. Это также позволяет вам легко объяснить модель кому-то другому.
Обратите внимание на то, что эта проблема на самом деле не о геометрии или исчислении. Эта задача является примером построения модели. Вы строите абстрактную модель реальной ситуации. Затем вы используете свои математические навыки (геометрия и вычисления), чтобы делать логические выводы. Наконец, когда вы понимаете решение проблемы в общих чертах, вы используете измеренные величины (h, m и r) для вычисления ответа.
